Chương 32: Anh hai, moa moa! 2 « Chương Trước. Còn nữa, món ăn mà cô nấu khác biệt rõ rệt với những công thức nấu ăn phổ biến của người máy hiện đại thông dụng hiện nay, rất phức tạp rất cổ điển, rất giống với mấy món ăn địa cầu cổ đại trong truyền
497292589 truy cập () 86149 trong hôm nay ; 2149485402 lượt xem 573195 trong hôm nay ; 14414091 thành viên
tailieunhanh - Mục tiêu : + Về kiến thức : Giúp học sinh củng cố kiến thức: Acgumen của số phức; dạng lượng giác của số phức; công thức nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác; công thức Moa-vrơ) + Về kỹ năng : Rèn luyện cho học sinh các kỹ năng. | TÊN BÀI HỌC ChươnglV 3 Giáo án đại số 12 LUYỆN TẬP DẠNG
Chương 346: Trần Thư gọi vốn cộng đồng nồi lẩu "Phổ thông cấp?" Trần Thư nhướng mày, nói: "Như thế xem thường chúng ta Hoa Hạ học phủ người? !" "Có thể kéo đổ đi!" A Lương mở miệng nói ra: "Chúng ta toàn bộ đại nhất chính ngươi là Hắc Thiết cấp, chúng ta đều là cấp chín, phổ thông cấp dị không gian
Tiết 77 NS : ND : § 6: CÔNG THỨC MOA - VRƠ I/Mục tiêu: - Kiến thức: Nắm vững dạng lượng giác của số phức, từ đó nắm vững cách tính tích, nghịch đảo, thương của hai số phức cho trước dưới dạng lượng giác, nắm vững công thức Moa - vrơ và ứng dụng của nó. - Kĩ năng: Vận dụng thành thạo để tính tích, nghịch đảo, thương của hai số phức cho trước dưới
2. Chim moa. Chim Moa cổ đại là loài tuyệt chủng nhỏ nhất trong họ moa, sống chủ yếu ở New Zealand. Loài chim không biết bay đã tuyệt chủng vào cuối thế kỷ 13, nhưng các nhà khoa học tại Đại học Harvard, Hoa Kỳ đã cố gắng đưa bộ gen vào sinh vật sống.
Cái Này Nhân Vật Phản Diện Dị Thường Thận Trọng (Giá Cá Phản Phái Dị Thường Thận Trọng ), Chương 8, Thần võ Giáo Phường ti
zcfr. Ta có \\cos 4\varphi + i\sin 4\varphi = {\left {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right^4}\ \\eqalign{ & = {\cos ^4}\varphi + 4\left {{{\cos }^3}\varphi } \right\left {i\sin \varphi } \right \cr &+ 6\left {{{\cos }^2}\varphi } \right\left {{i^2}} \right{\sin ^2}\varphi \cr &+ 4\left {\cos \varphi } \right\left {{i^3}{{\sin }^3}\varphi } \right \cr &+ {i^4}{\sin ^4}\varphi \cr & = {\cos ^4}\varphi - 6{\cos ^2}\varphi {\sin ^2}\varphi + {\sin ^4}\varphi \cr &+ \left {4{{\cos }^3}\varphi \sin \varphi - 4\cos \varphi {{\sin }^3}\varphi } \righti. \cr} \ Từ đó \\cos 4\varphi = {\cos ^4}\varphi - 6{\cos ^2}\varphi {\sin ^2}\varphi + {\sin ^4}\varphi \ \\sin 4\varphi = 4{\cos ^3}\varphi \sin \varphi - 4\cos \varphi {\sin ^3}\varphi \
Phương pháp 1. Tính căn bậc hai của số phức Căn bậc hai của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa ${w^2} = z$. Căn bậc hai của $0$ bằng $0.$ Với $z \ne 0$ và $z = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ với $r > 0.$ Đặt $w = Rc{\rm{os}}\theta + i \sin \theta $ với $R > 0$ thì ${{\rm{w}}^2} = z$ ⇔ ${R^2}c{\rm{os}}2\theta + i \sin 2\theta = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {R^2} = r\\ 2\theta = \varphi + k2\pi , k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} R = \sqrt r \\ \theta = \frac{\varphi }{2} + k\pi , k \in Z \end{array} \right.$ Từ đó suy ra Số phức $z = rc{\rm{os}}\varphi + i\sin \varphi $ có $2$ căn bậc hai là ${{\rm{w}}_1} = \sqrt r \left {c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right$ và ${{\rm{w}}_2} = \sqrt r \left {c{\rm{os}}\left {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right + i \sin \left {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right} \right$ $ = – \sqrt r \left {c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right.$ 2. Tính căn bậc $n$ của số phức Căn bậc $n$ của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa ${w^n} = z$. Với $z \ne 0$ và $z = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ với $r > 0.$ Đặt $w = Rc{\rm{os}}\theta + i \sin \theta $ với $R > 0$ thì ${{\rm{w}}^n} = z \Leftrightarrow {R^n}c{\rm{osn}}\theta + i {\mathop{\rm sinn}\nolimits} \theta $ $ = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {R^n} = r\\ n\theta = \varphi + k2\pi , k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} R = \sqrt[n]{r}\\ \theta = \frac{\varphi }{n} + \frac{{k2\pi }}{n}, k \in Z \end{array} \right.$ Bằng cách chọn $k = 0, 1, 2, …, n-1$ ta được $n$ căn bậc $n$ của $z$ là ${w_1} = \sqrt[n]{r}\left {\cos \frac{\varphi }{n} + i\sin \frac{\varphi }{n}} \right.$ ${w_2}$ = $\sqrt[n]{r}\left {\cos \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi }}{n}} \right + i\sin \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi }}{n}} \right} \right.$ ….. ${w_n}$ = $\sqrt[n]{r}\cos \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi n – 1}}{n}} \right$ $ + i\sin \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi n – 1}}{n}} \right.$ Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác ${\rm{w}} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.$ Ta có $w = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}.$ Đặt $z = r\left {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right$ với $r > 0$ là một căn bậc hai của $w$, ta có ${z^2} = w$ ⇔ ${r^2}\left {\cos 2\varphi + i\sin 2\varphi } \right$ $ = \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = 1\\ 2\varphi = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = 1\\ \varphi = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z \end{array} \right.$ Vậy $w$ có hai căn bậc hai là ${z_1} = \cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}$ và ${z_2} = \cos \frac{{7\pi }}{6} + i\sin \frac{{7\pi }}{6}.$ Ví dụ 2. Tính căn bậc ba của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $w = – 1 + i\sqrt 3 .$ Ta có $w = – 1 + i\sqrt 3 = 2\left { – \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right$ $ = 2\left {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right.$ Suy ra $w$ có môđun $R = 2$ và một acgumen $\theta = \frac{{2\pi }}{3}.$ Do đó, căn bậc ba của $w$ là số phức $z$ có môđun $r = \sqrt[3]{2}$ và một acgumen $\phi = \frac{\theta }{3} + \frac{{k2\pi }}{3} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in Z.$ Lấy $k = 0,1,2$ thì $\varphi $ có ba giá trị ${\varphi _1} = \frac{{2\pi }}{9}$, ${\varphi _2} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{8\pi }}{9}$, ${\varphi _3} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{14\pi }}{9}.$ Vậy $w = – 1 + i\sqrt 3 $ có $3$ căn bậc ba là ${z_1} = \sqrt[3]{2}\left {\cos \frac{{2\pi }}{9} + i\sin \frac{{2\pi }}{9}} \right$, ${z_2} = \sqrt[3]{2}\left {\cos \frac{{8\pi }}{9} + i\sin \frac{{8\pi }}{9}} \right$, ${z_3} = \sqrt[3]{2}\left {\cos \frac{{14\pi }}{9} + i\sin \frac{{14\pi }}{9}} \right.$ Ví dụ 3. Tính căn bậc bốn của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $w = i.$ Ta có $w = i = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}$ có môđun $R = 1$ và một acgumen $\theta = \frac{\pi }{2}.$ Suy ra căn bậc bốn của $w$ là số phức $z$ có môđun $r = 1$ và một acgumen $\varphi = \frac{\theta }{4} + \frac{{k2\pi }}{4} = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2},k \in Z.$ Lấy $k = 0,1,2,3$ ta có $4$ giá trị của $\varphi$ ${\varphi _1} = \frac{\pi }{8}$, ${\varphi _2} = \frac{\pi }{8} + \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{8}$, ${\varphi _3} = \frac{\pi }{8} + \pi = \frac{{9\pi }}{8}$, ${\varphi _4} = \frac{\pi }{8} + \frac{{3\pi }}{2} = \frac{{13\pi }}{8}.$
cosϕ + = cosnϕ + dụng vào lượng giác Ta cócosϕ + = cos3ϕ + khác, sử dụng khai triển lũy thừa bậc ba ta đượccosϕ + = cos3ϕ + 3cos2ϕ. + 3cosϕ. + đó, suy racos3ϕ = cos3ϕ − = 4cos3ϕ − 3cosϕ,sin3ϕ = − sin3ϕ = 3sinϕ − bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Số phức z = rcosϕ + r > 0 cóhai căn bậc hai là ϕϕϕϕϕϕr cos + ÷ và − r cos + ÷ = r cos + π ÷+ + π ÷ .22222 2B PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUANĐ1. SỐ PHỨCD¹ng to¸n 1Số phức và thuộc tính của nóPhương phápVới số phức z = a + bi, các dạng câu hỏi thường được đặt ra làDạng 1 Xác định phần thực và phần ảo của số phức z. Khi đó, ta có ngay Phần thực bằng a. Phần ảo bằng ý Một câu hỏi ngược là "Khi nào số phức a + bi là số thực, số ảo hoặc bằng 0",khi đó ta sử dụng kết quả trong phần chú ý sau định nghĩa 2 Hãy biểu diễn hình học số phức zKhi đó, ta sử dụng điểm Ma; b để biểu diễn số phức z trên mặt phẳng ý Một câu hỏi ngược là "Xác định số phức được biểu diễn bới điểm Ma; b", khiđó ta có ngay số z = a + 3 Tính mơđun của số phức z, khi đó, ta có ngay z = a2 + b2 .Dạng 4 Tìm số đối của số phức z, khi đó, ta có ngay −z = −a − 5 Tìm số phức liên hợp của z, khi đó, ta có ngay z = a − định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một tam giác đều có tâm là gốc toạ độO trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số −i. GiảiGiả sử tam giác đều ABC như trong hình vẽ thỏa mãn điều kiện đầu bài, khi đó giảsử đỉnh A0; −1 biểu diễn số phức − a 3Gọi a là độ dài cạnh ABC, ta có .= AO = 1 ⇔ a = 2Từ đó suy ray3 131; ÷ Đỉnh B −BC÷ là số phức z B = − 2 + 2 i. 2 2Ox 3 13 1; ÷ Đỉnh C làsốphứczC =+ i.÷2 2−1 A 2 2Dạng 6 Tìm số phức nghịch đảo của z, khi đó, ta có ngay z−1 =D¹ng to¸n 2Phương phápCác phép tốn về số phức Sử dụng định nghĩa cùng với tính chất của các phép tốn cộng, trừ nhân, chia trêntập số ta có các hằng đẳng thức a + bi a − bi = .a2 + b2 = a2 − bi2 = 14 2 + bi2 = a2 − b2 + 2abi;a − bi2 = a2 − b2 − 2abi.a + bi3= a3 − 3a + 3a2b − b3i; a − bi3= a3 + 3a − 3a2b + b3 phần thực phần ảo của số phức z = x + iy2 – 2x + iy + 5 với x, y ∈ ¡ .Với x, ynào thì số phức đó là số thực ? Giảia. Ta biến đổiz = x2 + 2xyi − y2 – 2x + 2yi + 5 = x2 − y2 − 2x + 5 + 2yx − 1 nó có phần thực bằng x2 − y2 − 2x + 5 và phần ảo bằng 2yx − 1.b. Số phức đã cho là số thực điều kiện là2yx − 1 = 0 ⇔ x = 1 hoặc y = 2i 1− i+Tìm phần thực phần ảo và mơđun của số phức z =.1− i 3− 2i GiảiTa có thể trình bày theo hai cách sauCách 1 Ta biến đổi3+ 2i1+ i 1− i3 + 2i1+ 5i 5 − i23 63+++ 2623634498Vậy nó có phần thực bằng, phần ảo bằngvà môđun 2 Ta biến đổi3+ 2i3− 2i + 1− i213− 2i13− 2i1+ 5iz===1− i3− 2i1− 5i26123 6323+ 63i =+ i.=2626 2623634498Vậy nó có phần thực bằng, phần ảo bằngvà mơđun điểm biểu diễn các số phức saua. z =2+ i2+22−i .b. z =2+ i −3 Giảia. Ta có thể trình bày theo các cách sauCách 1 Ta biến đổiz=2+ i2+2−i2= 2 + 2i 2 + i2 + 2 − 2i 2 + i2 = điểm M2; 0 biểu diễn số phức 2 Ta biến đổiz=2+ i2+ i22+2−i2−i22= 2 +i+2 – i2 − 2 2 + i 2 – i= 8 − 22 − i2 = điểm M2; 0 biểu diễn số phức 3 Ta biến đổiz=+= 2 + i − 2 + i2 + 2 2 + i2 – i= 4i + 22 − i = điểm M2; 0 biểu diễn số phức Ta có thể trình bày theo các cách sauCách 1 Ta biến đổi2z=2 332 + i − 2 − i = 2 2 + 6i + 3i 2 2 + i3 − 2 2 − 6i + 3i 2 2 − i3= 12i + 2i3 = 12i − 2i = 10i.32−i . Vậy, điểm N0; 10 biểu diễn số phức 2 Ta biến đổiz=2+ i −32− i3= 2 + i – 2 + i3 + 3 2 + i 2 – i 2 + i –= 8i3 + 6i2 − i2 = −8i + 18i = điểm N0; 10 biểu diễn s phc toán 32 + iChng minh tich cht của số phứcPhương phápSử dụng các phép toán trên tập số phức cùng những tính chất của minh rằng phần thực của số phức z bằng z + z , phần ảo của số phức z bằng21z – z .2i GiảiVới số phức z = a + bi a, b∈ ¡ , ta có111z + z = a + bi + a + bi = a + bi + a − bi = a − là phần thực của – z = a + bi − a + bi −i = b − là phần ảo của A, B theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z ≠ 0 và z' =Chứng minh rằng OAB là vuông cân O là gốc toạ độ.1+ GiảiTa lần lượt cóuuurOA = OA = z ,uuur1+ i1+ iz =z = 2 z ,OB = OB =222uuuruuur uuur1+ i−1+ iz− z =z = 2 z .AB = AB = OB − OA =222Từ đó, suy ra OB = AB và22 2 2 OB + AB = z +z = z 2 = OA2 ⇔ OAB là vuụng cõn ti B. 2 ữữ 2 ữữ 22Dạng to¸n 4Tập hợp điểmPhương phápCâu hỏi thường được đặt ra là "Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểudiễn các số phức z thỏa mãn điều kiện K".Khi đóDạng 1 Số phức z thỏa mãn biểu thức về độ dài mơđun. Khi đó, ta sử dụng cơngthức z = a2 + b2 .Dạng 2 Số phức z là số thực thực âm hoặc thực dương, số ảo. Khi đó, ta sử dụng kếtquảa. Để z là số thực điều kiện là b = Để z là số thực âm điều kiện làa 0.b = 0d. Để z là số ảo điều kiện là a = 0. Chú ý Để tăng độ khó cho yêu cầu về tập hợp điểm, bài toán thường được cho dướidạng một biểu thức định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho z2a. Là số Là số thực Là số thực Có mơđun bằng 1. GiảiVới số phức z = x + yi x, y∈ ¡ , ta cóz2 = x + yi2 = x2 − y2 + Để z2 là số ảo điều kiện làx − y = 0x2 − y2 = 0 ⇔ x − yx + y = 0 ⇔ .x + y = 0Vậy, tập hợp điểm các điểm M thuộc hai đường phân giác của góc giữa trục thực,trục Để z2 là số thực dương điều kiện là x2 − y2 > 0x ≠ 0⇔.y = 0 xy = 0Vậy, tập hợp điểm M thuộc trục Ox trục thực trừ gốc Để z2 là số thực âm điều kiện là x2 − y2 3và sinϕ =⇒ chọn ϕ = .232ππTừ đó, suy ra z = 2 cos + ÷ và khi đó33 πππ π z = 2 cos − ÷ = 2 cos − ÷+ − ÷ ;33 3 3ππππ4π4π –z = −2 cos + ÷ = 2 − cos − ÷ = 2 cos + ÷;33333311 ππ1ππ1z = .2 cos + ÷ = cos + ÷;=4 33233 ππnÕuk > 02k cos 3 + 3 ÷ kz = . −2k cos4π + 4π nÕuk 0 và là ϕ + π nếu k 0 krcosϕ + = . − kr[cosϕ + π + + π] nÕuk < 0Cho hai số phức z1 = 1 + i và z 2 = 3 + i .a. Tìm dạng lượng giác của z1, Sử dụng kết quả trong a tính z1z 2 , z .2 Giảia. Ta lần lượt có1 1ππ+i ÷ = 2 cos + ÷ ,z1 = 1 + i = 2 442 2 3 1 ππ+ i÷= 2 cos + ÷.z 2 = 3 + i = 2 ÷66 2 2 b. Ta lần lượt có π π5π5π π π z1z 2 = cos + ÷+ + ÷ = 2 2 cos + ÷ ,1212 4 6 4 6z12 π π2ππ π π =cos − ÷+ − ÷ =cos + ÷.z22 4 62 1212 4 6 Chú ý Nếu thực hiện các phép tốn trên dưới dạng đại sốa. Ta có 3 − 1 + 3 − 1 3 + 1 2+iz1z 2 = 1 + i=23 +i =3 +1 i 2 22 2 3 −15π 3 + 15π= cos ,= sin .từ đó, suy ra12122 22 2b. Ta có 1 + i 3 − i 1 z11+ i===z2443+i= 3 +1 + i 2 3 −12 2 3 +1+2 44từ đó, suy ra24 = cos π , 2 3 +1123 −1 i = sin π .3 −1412
Căn bậc n của số phứcrcos i sin n r n cosn i sin n I. Công thức Moa-vrơII. Căn bậc n của số Tương như định nghĩa căn bậc hai của số phức z , ta gọi số phức z sao cho z w là một căn bậc n của số phứcw . n là số nguyên cho trước, n>1.- Rõ ràng chỉ có một căn bậc n của w 0 là Khi w 0 , ta viết w dưới dạng lượng giác w Rcos i sin , R 0. Ta cần tìm z r cos i sin , r 0nsao cho z wn- Theo công thức Moa-vrơ, z w có nghĩa làr n cos n i sin n Rcos i sin ,ntức là r R và n k 2 , k Z nTừ đó r nR, k 2n k 2z n R cosn , tức là k 2 i sinnLấy k 0;1; ... ; n 1 , ta được n căn bậc n phân biệt của Ví dụ áp dụngSố phức w i cos2 i sin2có ba căn bậc ba là 13 i z1 cos i sin 662 2 2 1 i sin 3 i z 2 cos 3 3 266 4 4 i sin i z 3 cos 3 3 66trên hình minh họa có ba điểm A, B, C theo thứ tự biểu diễn z1 , z2 , z3 Hình minh họa- Chú ý Nếu w 0 thì các căn bậc n n 3 cho trước của w được biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi các đỉnh củamột n-giác đều nội tiếp đương tròn tâm O bán kính n w
công thức moa vrơ
